Makalah Teori Bilangan “ Sejarah Bilangan dan Sistem Bilangan ”

Makalah

Teori Bilangan

“Sejarah Bilangan dan Sistem Bilangan”

Diajukan sebagai tugas terstruktur untuk

Mata Kuliah : Teori Bilangan

Dosen Pengampu : Nuqthy Faiziyah,S.Pd,M.Pd

Disusun Oleh :

1. Aisyah Ilmi Primadani ( A410130081 )

2. Retno Arumsari ( A410130095 )

3. Tandyo Ardhana ( A410130108 )

Fakultas / Program Studi : KIP / Pendidikan Matematika

Kelas / Semester : C / 1 (satu)

UNIVERSITAS MUHAMADIYAH SURAKARTA

Jl. A. Yani Pabelan Kartasura Telp. (0271)717417 Tromol Pos 1 Surakarta

Kode pos 57102

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah yang telah memberikan berbagai kenikmatan yang tiada terhingga banyaknya. Shalawat beserta salam semoga tetap tercurahkan pada baginda alam Nabi besar Muhammad SAW. Semoga kita termasuk umat yang mendapat syafaat darinya, Amiin. Tak ada gading yang tak retak, begitulah perumpamaan manusia yang tak bisa lepas dari kekhilafan dan kealfaan.

Makalah ini tak lain sebagai salah satu tugas pada mata kuliah Teori Bilangan yang dibina oleh Ibu Nuqthy Faiziyah yakni mengenai “Sejarah Bilangan dan Sistem Bilangan”.

Dalam pembuatan makalah ini penulis menyadari bahwasanya tulisan ini masih banyak kekurangannya dan jauh pula dari kesempurnaan karena kesempurnaan itu sesungguhnya hanyalah milik Allah semata. Akhir kata penulis mengucapkan semoga makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca. Tak lupa kritik dan saran yang sifatnya membangun sangatlah penulis nantikan.

Kartasura, Oktober 2013

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................. 2

DAFTAR ISI................................................................................................. 3

BAB 1 PENDAHULUAN................................................................ 4

A. LATAR BELAKANG............................................................................. 4

B. RUMUSAN MASALAH......................................................................... 5

C. TUJUAN.................................................................................................. 5

BAB II PEMBAHASAN.................................................................. 6

A. SEJARAH BILANGAN.......................................................................... 6

B. SITEM BILANGAN............................................................................... 9

1. SISTEM BILANGAN ASLI.................................................................... 9

2. SISTEM BILANGAN CACAH.............................................................. 10

3. SISTEM BILANGAN BULAT............................................................... 11

4. SISTEM BILANGAN RASIONAL........................................................ 12

5. SISITEM BILANGN IRASIONAL........................................................ 14

6. SISTEM BILANAGAN RIIL.................................................................. 16

BAB III PENUTUP......................................................................... 18

DAFTAR PUSTAKA...................................................................... 19

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam menghitung (counting) , seorang matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari objek-objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan pola-pola dan hubungan diantara objek-objek yang memungkinkan mereka untuk menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak bagian dari matematika dan sering melibatkan metode metodeyang cukup canggih.

Beberapa formula menghitung kuno dapat ditelusuri pada abad ke-7. Tetapi teori menghitung ini mulai dikembangkan pada abad ke-16, ketika matematikawan matematikawan mulai menganalisis permainan permainan judi (games of change) tertentu. Dalam usaha untuk menjawab pertanyaan pertanyaan tentang pelemparan dadu dan penarikan kartu kartu, beberapa orang metematikawan Eropa pada saat itu mulai mengorganisasi hasil hasil mereka ke dalam teori menghitung yang formal. Salah seorang tokoh utama dalam pengembangan ini adalah matematikawan Perancis, Blaise Pascal, yang menulis sebuah makalah berkaitan dengan teori kombinasi kombinasi.

Karya yang dilakukan oleh pascal dan yang lain sekarang dikembangkan dalam suatu cabang matematika yang disebut combinatorial analysis (kombinatorik). Dua aspek besar dalam subyek ini adalah permutasi dan kombinasi yang mempunyai aplikasi dalam teori bidang peluang.

Kombinatorial (combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek objek tertentu di dalam kumpulannya. Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu eksperimen/percobaan atau event (kejadian/peristiwa). Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.

B. Rumusan Masalah

a. Bagaimana sejarah bilangan ?

b. Apa saja dan Bagaimana sistem bilangan ?

C. Tujuan

a. untuk mengetahui sejarah bilangan.

b. untuk mengetahui definisi dan operasi dalam sistem bilangan.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sejarah Bilangan

Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat, dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks.

Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah ℕ. Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}.

Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan Cacah.

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca buku Berhitung Sejarah dan Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.

Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.

Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.

Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.

Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai $\frac{m}{n}$ dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian terhadap operasi penjumlahan, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).

Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa) adalah $\sqrt{2}$ . Namun, $\sqrt{2}$ tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut dan lengkap.

Perluasan himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan bilangan kompleks dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat

. Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya adalah -1. Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena itu, muncul himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan $C={a+bi|a,b \in R }$ dan $latex i= \sqrt{-1}} $.

B. Sistem Bilangan

1. Sistem Bilangan Asli

a. Definisi

Bilangan asli merupakan bilangan bulat positif yang diawali angka 1 sampai tak terhingga.

Contoh bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, 6, …..

b. Operasi

Himpunan bilangan ali di notasikan N

N = {1,2,3,.....,

Bilangan asli merupakan bilangan bulat positif

Bilangan asli terdiri dari bilangan genap, bilangan ganjil, dan bilangan prima.

c. Sifat-Sifat Operasi

Sifat komutatif penjumlahan /perkalian:

atau

untuk setiap

Sifat assosiatif penjumlahan/ perkalian:

atau

, untuk setiap

Ada unsur identitas penjumlahan/ perkalian:

Ada bilangan asli 0 sehingga

untuk setiap

atau

Ada bilangan asli 1 sehingga

untuk setiap

2. Sistem Bilangan Cacah

a. Definisi

Bilangan cacah merupakan bilangan yang diawali dengan angka nol (0) sampai tak terhingga. Contoh bilangan cacah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 …..

b. Operasi

Notasi himpunan bilangan cacah adalah

atau

Sistem bilangan cacah meliputi himpunan bilangan cacah dan 2 operasi yang dinamakan penjumlahan dan perkalian.

Notasi sistem bilangan cacah adalah

atau

atau (

Definisi Kesamaan

Untuk setiap bilangan cacah a dan b,

berarti a dan b mewakili bilangan cacah yang sama.

Sifat Tertutup Penjumlahan dan perkalian

Untuk setiap bilangan cacah a dan b,

merupakan bilangan cacah dan

(atau

) merupakan bilangan cacah.

c. Sifat-Sifat Operasi

Sifat komutatif penjumlahan /perkalian:

atau

untuk setiap

Sifat assosiatif penjumlahan/ perkalian:

atau

, untuk setiap

Ada unsur identitas penjumlahan/ perkalian:

Ada bilangan cacah 0 sehingga

untuk setiap a Î C

atau

Ada bilangan cacah 1 sehingga

untuk setiap

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu distribusi kiri dan distribusi kanan yaitu:

, untuk setiap

3. Sistem Bilangan Bulat

a. Definisi

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan positif, bilangan negatif dan bilangan bulat. Contoh bilangan bulat : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3……

b. Operasi

Notasi himpunan bilangan bulat adalah Z atau B.

2 operasi sistem bilangan bulat yang dinamakan penjumlahan dan perkalian.

Notasi sistem bilangan bulat adalah

atau

c. Sifat-Sifat Operasi

Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat :

1. Tertutup untuk operasi penjumlahan dan perkalian

adalah bilangan bulat yang tunggal

adalah bilagan bulat yang tunggal

2. Komutatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian

3. Asosiatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian

4. Ada elemen invers penjumlahan yang tunggal

Untuk setiap bilangan bulat r, ada bilangan bulat yang tunggal demikian sehingga

5. Elemen Identitas :

Ada elemen identitas penjumlahan yang tunggal

Untuk setiap bilangan bulat p, ada bilangan bulat yang tunggal yaitu 0, demikian sehingga

Ada elemen identitas perkalian yang tunggal

Untuk setiap bilangan bulat q, ada bilangan bulat yang tunggal yaitu 1, demikian sehingga 1 . q = q . 1 = q

6. Distributif perkalian terhadap penjumlahan

(distributif kiri)

(distributif kanan)

7. Perkalian dengan nol

Jika p adalah bilangan bulat, maka

4. Sistem Bilangan Rasional

a. Definisi

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian antara 2 bilangan bulat. Atau dengan kata lain, Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai pecahan dimana p dan q adalah bilangan-bilangan bulat (

). Contohnya :

,dll.

b. Operasi

Bilangan Rasional juga merupakan bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q. Sistem operasi pada bilangan rasional meliputi penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian.

c. Sifat-Sifat Operasi

Untuk setiap bilangan rasional

dan

berlaku sifat‑sifat berikut ini.

1) Tertutup, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

adalah bilangan rasional

2) Komutatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

3) Asosiatif, untuk operasi penjumlahan dan perkalian

4) Distributif, perkalian untuk penjumlahan

5) Ada elemen identitas penjumlahan dan perkalian

Ada bilangan rasional tunggal,

, sehingga

Ada bilangan rasional tunggal,

, sehingga

6) Ada elemen invers penjumlahan dan perkalian

Untuk setiap

ada invers penjumlahan,

sehingga

Untuk setiap

ada invers perkalian

sehingga

7) Perkalian dengan nol

5. Bilangan Irasional

a. Definisi

Bilangan irrasional yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagi antara dua bilangan atau tidak bisa dinyatakan dalam bentuk

, dengan

. Contohnya :

dll.

b. Operasi

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis. jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

2. Perkalian dan Pembagian

3. Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.

4. Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.

Jika tidak ada tanda kurungnya maka

pangkat dan akar sama kuat;

kali dan bagi sama kuat;

tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;

kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

c. Sifat-Sifat Operasi

Sifat 1: Sifat tertutup
                        a. Sifat tertutup penjumlahan
                                    Apabila a dan b adalah bilangan-bilangan irasional,
                                    maka a+b adalah bilangan irasional.
                        b. Sifat tertutup pengurangan
                                    Apabila a dan b bilangan-bilangan irasional, maka a≠b,
                                    maka a-b adalah bilangan irasional

Sifat 2: Sifat Komutatif
                        a. Sifat komutatif penjumlahan
                                    Apabila a dan b bilangan-bilangan irasional maka
                                    a+b=b+a
                        b. Sifat komutatif perkalian
                                    Apabila a dan b bilangan-bilangan irasional maka
                                    a.b=b.a

Sifat 3: Sifat Assosiatif
                        a. Sifat assosiatif penjumlahan
                                    Apabila a,b dan c bilangan-bilangan irasional, maka
                                    a+(b+c)=(a+b)+c
                        b. Sifat assosiatif perkalian
                                    Apabila a,b dan c bilangan-bilangan irasional, maka
                                    a.(b.c)=(a.b).c

Sifat 4: Sifat konselais
Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan irasional maka :
1. a + c = b + c , maka a = b

2. a . c = b . c , maka a = b

3. a – c = b – c , maka a = b

4. a : c = b : c , maka a = b

Sifat 5: Sifat distributif

Apabila a,b dan c bilangan-bilangan irasional maka :

1. a. (b + c) = (a.b) + (a.c)

2. a. (b – c) = (a.b) – (a.c)

3. (a + b) : c = (a : b) + (b : c)

4. (a – b) : c = (a : b) – (b : c)

Sifat 6: Elemen identitas

a. Identitas penjumlahan

Apabila a adalah bilangan irasional, maka a + 0 = 0 + a= a

b. Identitas Perkalian

Apabila a adalah bilangan irasional, maka a.1 = 1 . a = a

Sifat 7: Perkalian dengan nol

Apabila a bilangan irasional, maka a.0 = 0.a = 0

Sifat 8: Sifat Invers

a. Invers Penjumlahan

Apabila a bilangan irasional dimana -a adalah bilangan irasional atau invers dari a, maka a + (-a) = 0,

b. Invers Perkalian

Apabila a adalah bilangan irasional, maka terdapat bilangan irasional lainnya 1/a, sedemikian sehingga a. 1/a = 1

Sifat 9: Trikotomi

Apabila a dabn b adalah bilangan-bilangan irasional, maka berlaku salah satu dari 3 relasi berrikut :

1. a < b

2. a = b

3. a > b

Sifat 10: Transitif urutan

Apabila a,b dan c adalah bilangan-bilangan irasional, a < b dan b < c, maka a < c

6. Sistem Bilangan Riil

a. Definisi

Bilangan riil yaitu suatu bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional. Contohnya:

,dll.

b. Operasi

Setiap operasi dasar bilangan riil dapat dioperasikan dengan operasi penjumlahan

, pengurangan

, perkalian

, dan pembagian

c. Sifat-Sifat Operasi

1. Sifat komutatif

2. Sifat asosiatif

3. Sifat distributif kali terhadap tambah

4. Unsur kesatuan

Terdapat unsur 0 (unsur kesatuan tambah atauunsur nol)

, dan

unsur 1 (unsur kesatuan kali atau unsur satuan)

5. Unsur balikan (invers)

(i) Untuk setiap x di R terdapat –x di R, sehingga x + (-x) = 0 ( -x lawan dari x)

(ii) Untuk setiap x di

terdapat

(

di R sehingga

kebalikan dari x)

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

Setelah kurang lebih 2 minggu kami membuat makalah ini, Kami memperoleh banyak informasi praktis yang tersedia di internet, pada khususnya “Sejarah Bilangan dan Sistem Bilangan” dan sekaligus bagi kami sebagai tambahan ilmu pada bidang Teknologi Informasi dan Komunikasi yang semakin berkembang pesat. Dalam hal tersebut karena kita menggunakan E-Mail sebagai sarana penyampaiannya.